教你如何求两角和与差的余弦_两角和与差的余弦公式的推导过程

这个视频我要讲讲如何求两角和与差的余弦。

1. 先来看差，其实 cos(α-β)就等于 cosα×cosβ+sinα×sinβ。为什么？咱来证明一下。

- 在单位圆上画一个角度α，这个点 p 所对应的坐标就是 cosα，sinα，oq 写成向量形式也是 cosα，sinα。

- 再画一个角度β，这个 q 点所对应的坐标就是 cosβ，sinβ，oq 写成向量形式也是 cosβ，sinβ，它们之间的夹角就是α-β。

- 你已经知道两个向量的乘积就是横乘横加纵乘纵，op×oq 就等于 cosα×cosβ+sinα×sinβ。

- 你又知道两个向量的乘积也等于这俩向量的模乘夹角的余弦值，这俩向量的膜都是 1，op×oq 就等于 cos(α-β)。因为这俩都等于 op×oq，所以 cos(α-β)就等于 cosα×cosβ+sinα×sinβ。

2. 现在两角差的余弦公式这就证出来了，两角的和这简单，只要把加β改成减(-β)就行。你看根据刚才的公式就可以写成 cosα×cos(-β)+sinα×sin(-β)。

- 把这个式子整理一下，cos(-β)=cosβ，sin(-β)=-sinβ，所以这个式子就等于 cosα×cosβ-sinα×sinβ。这个就是两角和的余弦公式。

3. 这一共两个公式非常重要，你可得记仔细。左边是减时，右边是加，左边是加时，右边是减。有了这俩公式貌似很多不能求的余弦值就可以求出来了。比如 cos75°就可以写成 cos(45°+30°)，利用两角和的余弦公式就等于 cos45°×cos30°-sin45°×sin30°。

4. 接下来就只剩下化简计算了，正着用你学会了。如果反过来，如果让你求 cos80°×cos20°+sin80°×sin20°，你知道等于多少吗？根据两角差的余弦公式就等于 cos(80°-20°)，也就是 cos60°得二分之一。

5. 以上就是两角和与差的余弦的全部内容，一起来总结一下。以后只要看到 cos(α±β)，你就要想到它可以写成 cosα×cosβ±sinα×sinβ这种形式。反过来，如果看到这种形式你也得立马想到它就是 cos(α±β)。

6. 再提醒一遍，左边是减时，右边是加，左边是加时，右边是减。怎么样，明白了吗？明白的话就速速刷题去吧。