2025年CSP新算法策略:前缀和(2)

2025年NOI大纲修订版中新添加了前缀和的概念，今天我们就来学习一下二维的前缀和概念以及应用方法。

定义 ：二维前缀和数组 S[i][j] 表示在矩阵 A 中，从左上角（0,0）到当前位置（i,j）的矩形区域内的元素之和。

计算方法 ：使用容斥原理，公式为

S[i][j] = A[i][j] + S[i - 1][j] + S[i][j - 1] - S[i - 1][j - 1]。

蓝色部分是S[i][j-1]的和 ， 黄色部分是S[i-1][j]的和。

粉色部分是S[i-1][j-1]的和 。 属于蓝色和黄色重复的面积。

用途 ：快速求子矩阵和。计算矩阵 A 中以（x1,y1）为左上角，（x2,y2）为右下角的子矩阵的和，可用公式

S[x2][y2] - S[x1 - 1][y2] - S[x2][y1 - 1] + S[x1 - 1][y1 - 1]

（当 x1 > 0 且 y1 > 0 时）。

子矩阵和 = 绿色部分 - 粉色部分 - 黄色部分 + 重复的蓝色部分

最大加权矩形

题目描述

一个 n×n 矩阵。要求矩阵中最大加权矩形，即矩阵的每一个元素都有一权值，权值定义在整数集上。从中找一矩形，矩形大小无限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩阵的每个元素属于 [-127,127] ,例如

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

在左下角：

9 2

-4 1

-1 8

和为 15。你能帮忙计算出所给的矩形中加权和最大的矩形吗？

输入格式

第一行：n，接下来是 n 行 n 列的矩阵。

输出格式

最大矩形（子矩阵）的和。

输入输出样例 #1

输入 #1

4

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

输出 #1

15

说明/提示

1≤n≤120

解析：枚举数组，遇到位置i,j.求出第i行前面j个位置的和 qz[i][j]。

1，1到i，j位置的和S[i][j] = S[i-1][j]+qz[i][j]。

绿色部分总和是 S[i-1][j]， 蓝色部分是当前行的和 qz[i][j]。

最后使用区间和求解某个范围内总和：

#include<iostream>
using namespace std;
int n;
int a[130][130];//存储题目中的矩阵
int S[130][130];
int qz[130][130];//qz[i][j]指的是第i行到j的前缀和
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j];
            qz[i][j]=qz[i][j-1]+a[i][j];//当前行的和
            S[i][j]=S[i-1][j]+qz[i][j]; //1,1到 i，j的和 
        }
    }
    int mx=-99999999;
    for(int x1=1;x1<=n;x1++){
    	for(int y1=1;y1<=n;y1++){
    		for(int x2=1;x2<=n;x2++){
    			for(int y2=1;y2<=n;y2++){
    				if(x1>x2 ||y1>y2) continue;
    				mx=max(mx,S[x2][y2]-S[x2][y1-1]-S[x1-1][y2]+S[x1-1][y1-1]);
				}
			}
		}
	}
    cout<<mx;//输出
return 0;
}

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