堆排序在面试中是经常会问到的，特别是应届毕业生找工作时，面试官最喜欢问这个了。像我这种不入流的大学，平时所学习的算法只是讲讲基本原理，却没有真正要求动手去实现，因此到真正需要应用的时候，根本就不懂如何去应用。
今天，希望通过本篇文章，和大家一起回忆、学习堆排序的相关知识，希望能够和大家一起理解和吸收。
基础知识
我们通常所说的堆是指二叉堆，二叉堆又称完全二叉树或者叫近似完全二叉树。二叉堆又分为最大堆和最小堆。
堆排序(Heapsort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。数组可以根据索引直接获取元素，时间复杂度为O（1），也就是常量，因此对于取值效率极高。
最大堆的特性如下：
父结点的键值总是大于或者等于任何一个子节点的键值
每个结点的左子树和右子树都是一个最大堆
最小堆的特性如下：
父结点的键值总是小于或者等于任何一个子节点的键值
每个结点的左子树和右子树都是一个最小堆
算法思想
最大堆的算法思想是：
先将初始的R[0…n-1]建立成最大堆，此时是无序堆，而堆顶是最大元素
再将堆顶R[0]和无序区的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[0…n-2]和有序区R[n-1]，且满足R[0…n-2].keys ≤ R[n-1].key
由于交换后，前R[0…n-2]可能不满足最大堆的性质，因此再调整前R[0…n-2]为最大堆，直到只有R[0]最后一个元素才调整完成。
最大堆排序完成后，其实是升序序列，每次调整堆都是要得到最大的一个元素，然后与当前堆的最后一个元素交换，因此最后所得到的序列是升序序列。
最小堆的算法思想是：
先将初始的R[0…n-1]建立成最小堆，此时是无序堆，而堆顶元素是最小的元素
再将堆顶R[0]与无序区的最后一个R[n-1]交换，由此得到新的无序堆R[0…n-2]和有序堆R[n-1]，且满足R[0…n-2].keys >= R[n-1].key
由于交换后，前R[0…n-2]可能不满足最小堆的性质，因此再调整前R[0…n-2]为最小堆，直到只有R[0]最后一个元素才调整完成
最小堆排序完成后，其实是降序序列，每次调整堆都是要得到最小的一个元素，然后与当前无序堆的最后一个元素交换，所以所得到的序列是降序的。
提示：堆排序的过程，其实就是不断地扩大有序区，然后不断地缩小无序区，直到只有有序区的过程。
排序过程分析
因为算法比较抽象，这里直接通过举个小例子来说明堆排序的过程是如何的。下面我们用这个无序序列采用最大堆的进行堆排序，所得到的序列就是升序序列（ASC）。
无序序列：89,-7,999,-89,7,0,-888,7,-7
第一步：初始化建成最大堆：
第二步：将堆顶最大元素999与无序区的最后一个元素交换，使999成为有序区。交换后，-7成为堆顶，由于-7并不是无序区中最大的元素，因此需要调整无序区，使无序区中最大值89成为堆顶，所以-7与89交换。交换后导致89的右子树不满足最大堆的性质，因此要对右子树调整成最大堆，所以-7要与0交换，如下图：
从图中看到，当-7成89交换后，堆顶是最大元素了，但是-7的左孩子是0，右孩子是-888，由于-7<0，导致-7这个结点不满足堆的性质，因此需要调整它。所以，0与-7交换。
然后不断重复着第二步的过程，直到全部成为有序区。
最后：所得到的是升序序列
时间复杂度
堆排序的时间，主要由建立初始堆和反复调整堆这两部分的时间开销构成.由于堆排序是不稳定的，它得扭到的时间复杂度会根据实际情况较大，因此只能取平均时间复杂度。
平均时间复杂度为：O( N * log2(N) )
堆排序耗时的操作有：初始堆 + 反复调整堆，时间复杂度如下：
初始建堆：每个父节点会和左右子节点进行最多2次比较和1次交换，所以复杂度跟父节点个数有关。根据2x <= n（x为n个元素可以折半的次数，也就是父节点个数），得出x = log2n。即O ( log2n )
反复调整堆：由于初始化堆过程中，会记录数组比较结果，所以堆排序对原序列的数组顺序并不敏感，最好情况和最坏情况差不多。需要抽取 n-1 次堆顶元素，每次取堆顶元素都需要重建堆（O(重建堆) < O(初始堆)）。所以小于 O(n-1) * O(log2n)
使用建议：
由于初始化堆需要比较的次数较多，因此，堆排序比较适合于数据量非常大的场合（百万数据或更多）。由于高效的快速排序是基于递归实现的，所以在数据量非常大时会发生堆栈溢出错误。
C语言实现
基于最大堆实现升序排序
// 初始化堆
voidinitHeap(inta[],intlen){
// 从完全二叉树最后一个非子节点开始
// 在数组中第一个元素的索引是0
// 第n个元素的左孩子为2n+1，右孩子为2n+2，
// 最后一个非子节点位置在(n - 1) / 2
for(inti=(len-1)/2;i>=0;--i){
adjustMaxHeap(a,len,i);
}
}
voidadjustMaxHeap(inta[],intlen,intparentNodeIndex){
// 若只有一个元素，那么只能是堆顶元素，也没有必要再排序了
if(len<=1){
return;
}
// 记录比父节点大的左孩子或者右孩子的索引
inttargetIndex=-1;
// 获取左、右孩子的索引
intleftChildIndex=2*parentNodeIndex+1;
intrightChildIndex=2*parentNodeIndex+2;
// 没有左孩子
if(leftChildIndex>=len){
return;
}
// 有左孩子，但是没有右孩子
if(rightChildIndex>=len){
targetIndex=leftChildIndex;
}
// 有左孩子和右孩子
else{
// 取左、右孩子两者中最大的一个
targetIndex=a[leftChildIndex]>a[rightChildIndex]? leftChildIndex : rightChildIndex;
}
// 只有孩子比父节点的值还要大，才需要交换
if(a[targetIndex]>a[parentNodeIndex]){
inttemp=a[targetIndex];
a[targetIndex]=a[parentNodeIndex];
a[parentNodeIndex]=temp;
// 交换完成后，有可能会导致a[targetIndex]结点所形成的子树不满足堆的条件，
// 若不满足堆的条件，则调整之使之也成为堆
adjustMaxHeap(a,len,targetIndex);
}
}
voidheapSort(inta[],intlen){
if(len<=1){
return;
}
// 初始堆成无序最大堆
initHeap(a,len);
for(inti=len-1;i>0;--i){
// 将当前堆顶元素与最后一个元素交换，保证这一趟所查找到的堆顶元素与最后一个元素交换
// 注意：这里所说的最后不是a[len - 1]，而是每一趟的范围中最后一个元素
// 为什么要加上>0判断？每次不是说堆顶一定是最大值吗？没错，每一趟调整后，堆顶是最大值的
// 但是，由于len的范围不断地缩小，导致某些特殊的序列出现异常
// 比如说，5, 3, 8, 6, 4序列，当调整i=1时，已经调整为3,4,5,6,8序列，已经有序了
// 但是导致了a[i]与a[0]交换，由于变成了4,3,5,6,8反而变成无序了!
if(a[0]>a[i]){
inttemp=a[0];
a[0]=a[i];
a[i]=temp;
}
// 范围变成为：
// 0...len-1
// 0...len-1-1
// 0...1 // 结束
// 其中，0是堆顶，每次都是找出在指定的范围内比堆顶还大的元素，然后与堆顶元素交换
adjustMaxHeap(a,i-1,0);
}
}
基于最小堆实现降序排序
// 初始化堆
voidinitHeap(inta[],intlen){
// 从完全二叉树最后一个非子节点开始
// 在数组中第一个元素的索引是0
// 第n个元素的左孩子为2n+1，右孩子为2n+2，
// 最后一个非子节点位置在(n - 1) / 2
for(inti=(len-1)/2;i>=0;--i){
adjustMinHeap(a,len,i);
}
}
voidadjustMinHeap(inta[],intlen,intparentNodeIndex){
// 若只有一个元素，那么只能是堆顶元素，也没有必要再排序了
if(len<=1){
return;
}
// 记录比父节点大的左孩子或者右孩子的索引
inttargetIndex=-1;
// 获取左、右孩子的索引
intleftChildIndex=2*parentNodeIndex+1;
intrightChildIndex=2*parentNodeIndex+2;
// 没有左孩子
if(leftChildIndex>=len){
return;
}
// 有左孩子，但是没有右孩子
if(rightChildIndex>=len){
targetIndex=leftChildIndex;
}
// 有左孩子和右孩子
else{
// 取左、右孩子两者中最上的一个
targetIndex=a[leftChildIndex] } // 只有孩子比父节点的值还要小，才需要交换 if(a[targetIndex] inttemp=a[targetIndex]; a[targetIndex]=a[parentNodeIndex]; a[parentNodeIndex]=temp; // 交换完成后，有可能会导致a[targetIndex]结点所形成的子树不满足堆的条件， // 若不满足堆的条件，则调整之使之也成为堆 adjustMinHeap(a,len,targetIndex); } } voidheapSort(inta[],intlen){ if(len<=1){ return; } // 初始堆成无序最小堆 initHeap(a,len); for(inti=len-1;i>0;--i){ // 将当前堆顶元素与最后一个元素交换，保证这一趟所查找到的堆顶元素与最后一个元素交换 // 注意：这里所说的最后不是a[len - 1]，而是每一趟的范围中最后一个元素 // 为什么要加上>0判断？每次不是说堆顶一定是最小值吗？没错，每一趟调整后，堆顶是最小值的 // 但是，由于len的范围不断地缩小，导致某些特殊的序列出现异常 // 比如说，5, 3, 8, 6, 4序列，当调整i=1时，已经调整为3,4,5,6,8序列，已经有序了 // 但是导致了a[i]与a[0]交换，由于变成了4,3,5,6,8反而变成无序了! if(a[0] inttemp=a[0]; a[0]=a[i]; a[i]=temp; } // 范围变成为： // 0...len-1 // 0...len-1-1 // 0...1 // 结束 // 其中，0是堆顶，每次都是找出在指定的范围内比堆顶还小的元素，然后与堆顶元素交换 adjustMinHeap(a,i-1,0); } } 数据测试 // int a[] = {5, 3, 8, 6, 4}; inta[]={89,-7,999,-89,7,0,-888,7,-7}; heapSort(a,sizeof(a)/sizeof(int)); for(inti=0;i NSLog(@"%d",a[i]); } 不知道大家理解没有，自己动手画画能帮助我们理解的哦！
