问题说明

有N件物品和一个容量为V的背包。

第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。

求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，

且价值总和最大。

功能说明

本程序用动态规划的思想解决了背包问题，并用了两种算法： 迭代法、递归法。在迭代法中实现了打印背包问题的表格。

代码简述

通过用户输入数据，程序输入检测，动态分配空间，选择算法， 用动态规划的思想求解背包问题。

迭代法：

通过遍历n行W列，迭代每行每列的值，并把最优解放到 n行（在数组中为第n+1行）W列（在数组中为第W+1列）中。

递归法：

通过每次返回前i个物品和承重为j的最优解， 递归计算总背包问题的最优解。

源码示例

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

int **T = NULL;		// 存储背包问题表格的数组指针

// 返回两个值的最大值
int max(int a, int b) {
	return (a > b) ? a : b;
}

// 迭代法，能显示背包问题的表格
int packIterative(int n, int W, int *w, int *v) {
	
	// 循环遍历n行
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		// 循环遍历W列
		for (int j = 1; j <= W; ++j)
		{
			//第i个物品能装下，则比较包括第i个物品和不包括第i个物品，取其最大值
			if (w[i] <= j)
				T[i][j] = max(v[i] + T[i - 1][j - w[i]], T[i - 1][j]);

			// 第i个物品不能装下，则递归装i-1个
			else
				T[i][j] = T[i - 1][j];
		}
	}
	return T[n][W];
}

// 递归法，不支持显示背包问题的表格
int packRecursive(int n, int W, int *w, int *v) {
	// 结束条件（初始条件），i或者j为0时最大总价值为0
	if (n == 0 || W == 0) {
		return 0;
	}
	// 第i个物品不能装下，则递归装i-1个
	if (w[n] > W) {
		return packRecursive(n - 1, W, w, v);
	}
	//第i个物品能装下，则比较包括第i个物品和不包括第i个物品，取其最大值
	else {
		return max(v[n] + packRecursive(n - 1, W - w[n], w, v), packRecursive(n - 1, W, w, v));
	}
}

// 打印背包问题的表格
void printT(int n, int W)
{
	// 打印n行
	for (auto i = 0; i <= n; i++)
	{
		// 打印行数
		cout << i << ":\t";

		// 打印W列
		for (int w = 0; w <= W; w++)
		{
			cout << T[i][w] << "\t";
		}

		// 换行
		cout << endl;
	}
}

int main() {
	int *w = NULL;		// 存储每件物品重量的数组指针
	int *v = NULL;		// 存储每件物品价值的数组指针
	int n;				// 物品个数n
	int W;				// 背包总承重W

	cout << "---------------- 背包问题 ----------------" << endl;
	cout << "请输入物品数 n (n>=0) " << endl;

	// 输入背包数
	cin >> n;

	if (cin.fail() || n < 0)
	{
		cout << "输入n错误！" << endl;
		system("pause");
		return 0;
	}

	cout << "请输入背包承重量 W (W>=0) " << endl;

	// 输入背包承重量
	cin >> W;

	if (cin.fail() || W < 0)
	{
		cout << "输入W错误！" << endl;
		system("pause");
		return 0;
	}

	// 分配空间
	// 对w和v分配n+1大小
	w = new int[n + 1];
	v = new int[n + 1];

	// 对T分配n+1行，并初始化为0
	T = new int *[n + 1]();
	// 对T分配W+1列，并初始化为0
	for (auto i = 0; i <= n; i++)
	{
		T[i] = new int[W + 1]();
	}

	// 输入背包的重量和价值
	for (auto i = 1; i <= n; i++)
	{
		cout << "请输入第 " << i << " 个物品的重量和价值（用空格隔开）" << endl;
		cin >> w[i] >> v[i];
		if (cin.fail() || w[i] < 0 || v[i] < 0)
		{
			cout << "输入错误！" << endl;
			system("pause");
			return 0;
		}
	}

	cout << "------------------------------------------------" << endl;
	cout << "请选择算法：" << endl;
	cout << "【1】迭代法" << endl;
	cout << "【2】递归法" << endl;
	cout << "------------------------------------------------" << endl;

	int choose;

	// 输入算法的选择
	cin >> choose;
	switch (choose)
	{
	case 1:
	{
		// 迭代法，能显示背包问题的表格
		cout << "能装下物品的最大价值为 " << packIterative(n, W, w, v) << endl;
		cout << "------------------------------------------------" << endl;
		printT(n, W);
		break;
	}
	case 2:
	{
		// 递归法，不支持显示背包问题的表格
		cout << "能装下物品的最大价值为 " << packRecursive(n, W, w, v) << endl;
		break;
	}
	default:
	{
		cout << "输入错误！" << endl;
		break;
	}
	}

	cout << "------------------------------------------------" << endl;

	delete w;
	delete v;
	for (int i = 0; i <= n; ++i) {
		delete[] T[i];
	}
	delete[] T;

	system("pause");
	return 0;
}

今天的分享就到这里了，大家要好好学C++哟~

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